Eisenstein's criterion
정수 계수
다항식의 기약성을 판정할 수 있는 충분조건이다.
목차
1. 진술
2. 증명
2.1. 가우스의 보조정리 1
2.1.1. 증명
2.2. 가우스의 보조정리 2
2.2.1. 증명
2.3. 증명
3. 아이젠슈타인 다항식과 정수 기저
3.1. 증명
4. 영상
정수 계수 다항식 f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n−1}+\cdots +a_0에 대해 소수 p가 존재하여 a_n을 제외한 모든 계수가 p에 의해 나누어지고 상수항 a_0이 p^2으로 나누어떨이지지 않으면 f(x)는 기약이다.
정수 계수 다항식 f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n−1}+\cdots +a_0의 계수들 a_n, a_{n-1},\cdots ,a_0의 최대공약수를 f(x)의 내용(content)이라고 정의하고, 내용이 1인 정수 계수 다항식을 원시 다항식(primitive polynomial)이라고 하자. 다음의 두 명제가 성립한다.
2.1. 가우스의 보조정리 1 ✎
두 원시 다항식의 곱은 원시 다항식이다.
두 원시 다항식
f(x),
g(x)의 곱
f(x)g(x)가 원시 다항식이 아니라고 가정하자.
p를
f(x)g(x)의 내용의 한 소인수라고 하면,
f(x)g(x)의 법
p에 관한 축소
\bar{f}(x)\bar{g}(x)=0이고
(Z/pZ)[x]는
정역이므로
\bar{f}(x)=0 또는
\bar{g}(x)=0이다. 그런데
f(x)와
g(x)의 내용은 1이므로 모순이고, 따라서 가정은 거짓이다. ■
이는 가우스의 <산술 연구(Disquisitiones Arithmeticae)> 제2장 제42조에 나오는 내용이다.
2.2. 가우스의 보조정리 2 ✎
정수 계수 다항식 f(x)가 유리수 위에서 가약(reducible)이면 정수 위에서 가약(reducible)이다. 혹은 f(x)가 정수 위에서 기약(irreducible)이면 유리수 위에서 기약(irreducible)이다.
f(x)=g(x)h(x)(1)라고 가정하자. 양변을
f(x)의 내용으로 나눌 수 있으므로 일반성을 잃지 않고
f(x)는 원시 다항식이라고 가정할 수 있다. 양변을
g(x)의 계수들의 최소공배수
a와
h(x)의 계수들의 최소공배수
b의 곱
ab로 곱하면
abf(x)=ag(x)\cdot bh(x)에서
ag(x)과
bh(x)는 정수 계수 다항식이 된다.
ag(x)과
bh(x)의 내용을 각각
c,
d라고 하면
ag(x)=cg_1(x),
bh(x)=dh_1(x)인 원시 다항식
g_1(x),
h_1(x)이 존재하고, 두 원시 다항식의 곱은 원시 다항식이므로
abf(x)=cdg_1(x)h_1(x)에서
f(x)=g_1(x)h_1(x)임을 알 수 있다. 따라서
f(x)는 정수 위에서 기약이다. ■
f(x)가 유리수 위에서 가약이면 가우스의 두번째 보조 정리에 따라 정수 위에서도 가약이므로 f(x)=g(x)h(x)인 차수가 r, s(1\leq r, s<n)인 정수 계수 다항식 g(x), h(x)가 존재한다. g(x)=b_rx^r+b_{r-1}x^{r−1}+\cdots +b_0, h(x)=c_sx^s+c_{s-1}x^{s−1}+\cdots +c_0이라고 하면 a_0=b_0c_0은 p의 배수지만 p^2의 배수는 아니므로 p는 b_0와 c_0 중 하나만을 나눈다. 일반성을 잃지 않고 p가 b_0만을 나눈다고 가정하자. p\nmid b_k를 만족하는 정수 k 중 최소인 것을 m이라고 하면, a_m=b_mc_0+b_{m-1}c_1+\cdots +b_0c_m에서 a_m과 b_{m-1},\cdots ,b_0이 p의 배수이므로 b_mc_0 역시 p의 배수가 되어야 하지만 b_m와 c_0는 모두 p의 배수가 아니므로 이는 모순이다. 따라서 f(x)는 기약이다. ■
3. 아이젠슈타인 다항식과 정수 기저 ✎
정수 계수 다항식 f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n−1}+\cdots +a_0에 대해 a_n을 제외한 모든 계수가 어떤 소수 p에 의해 나누어지고 상수항 a_0이 p^2으로 나누어떨이지지 않으면 f(x)를 p에 관한 아이젠슈타인 다항식(Eisenstein polynomial)이라고 한다.
차수가 n인 n차 수체 K의 원소 \alpha의 최소 다항식 f(x)가 p에 관한 아이젠슈타인 다항식이면 p는 |\mathcal O_K/\mathbb Z[\alpha]|를 나누지 않는다.
p가
|\mathcal O_K/\mathbb Z[\alpha]|를 나눈다고 가정하면
코시의 정리에 따라 위수가
p인
\mathcal O_K/\mathbb Z[\alpha]의 원소
\beta +\mathbb Z[\alpha](2)가 존재한다.
p\beta=b_0+b_1\alpha+\cdots +b_{n-1}\alpha ^{n-1}이라 하고
p\nmid b_m을 만족하는 최소의 정수를
m이라 하자. 그러면
(b_m\alpha ^m+b_{m+1}\alpha ^{m+1}+\cdots +b_n\alpha ^n)/p은
\mathcal O_K의 원소이고, 따라서
b_m\alpha ^{n-1}/p+\alpha ^n/p(b_{m+1}+b_{m+2}\alpha +\cdots +b_n\alpha ^{n-m-2})도
\mathcal O_K의 원소인데,
f(x)가
p에 관한 아이젠슈타인 다항식이므로
\alpha ^n/p=-(a_0+a_1\alpha+\cdots +a_{n-1}\alpha ^{n-1})/p도
\mathcal O_K의 원소가 되어
b_m\alpha ^{n-1}/p 역시
\mathcal O_K의 원소이다. 그런데
p\nmid b_m,
p^2\nmid a_0에서
N(b_m\alpha ^{n-1}/p)=b_m^na_0^{n-1}/p^n\notin \mathbb Z이므로 모순이다. 따라서
p는
|\mathcal O_K/\mathbb Z[\alpha]|를 나누지 않는다. ■
